问答题
设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1．试证：必存在ξ∈(0，3)，使f"(ξ)=0．
【正确答案】
【答案解析】【证】函数f(x)在[0，3]上连续，则f(x)在[0，2]上连续，那么其在[0，2]上必有最大值M和最小值m，于是
m≤f(0)≤M，m≤f(1)≤M，m≤f(2)≤M，
由介值定理知，至少存在一点η∈[0，2]，使得
于是便有f(η)=1=f(3)，满足罗尔定理条件，于是存在ξ∈(η，3)
m≤f(0)≤M，m≤f(1)≤M，m≤f(2)≤M，
由介值定理知，至少存在一点η∈[0，2]，使得
于是便有f(η)=1=f(3)，满足罗尔定理条件，于是存在ξ∈(η，3)