问答题
设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX经过正交变换化为标准形
问答题
求矩阵A；
【正确答案】显然A的特征值为λ1=2，λ2=-1，λ3=-1，|A|=2，伴随矩阵A*的特征值为μ1=1，μ=-2，μ3=-2．由A*α=α得AA*α=Aα，即Aα=2α，。即α=(1，1，-1)T是矩阵A的对应于特征值λ1=2的特征向量．
令ζ=(x1，x2，x3)T为矩阵A的对应于特征值λ2=-1，λ3=-1的特征向量，因为A为实对称矩阵，所以αTζ=0，即x1+x2-x3=0，于是λ2=-1，λ3=-1对应的线性无关的特征向量为
[*]
令ζ=(x1，x2，x3)T为矩阵A的对应于特征值λ2=-1，λ3=-1的特征向量，因为A为实对称矩阵，所以αTζ=0，即x1+x2-x3=0，于是λ2=-1，λ3=-1对应的线性无关的特征向量为
[*]
【答案解析】
问答题
求正交矩阵Q，使得经过正交变换X=QY，二次型f(x1，x2，x3)=XTAX化为标准形．
【正确答案】[*]
【答案解析】
问答题
【正确答案】[*]
[*]
【答案解析】
问答题
设在[-1，1]上的连续函数f(x)满足如下条件：对[-1，1]上的任意的连续偶函数g(x)，积分
【正确答案】作变换x=-t，则
[*]
令h(x)=f(x)+f(-x)，则h(x)是[-1，1]上的偶函数，由已知可得[*]从而有[*]所以f(x)+f(-x)=0，f(x)是[-1，1]上的奇函数．
【答案解析】
问答题
【正确答案】[*]
[*]
【答案解析】
问答题
设X～N(μ，σ2)，其中μ和σ2均为未知参数．从总体x中抽取简单随机样本X1，X2，…，X10,样本均值为
．
(Ⅰ) 求Y1=2X1-2X2与Y2=3X2-3X3的相关系数p；
(Ⅱ) 判断
是否为一个统计量；
(Ⅲ) 设μ为已知，确定常数k，使得
． (Ⅰ) 求Y1=2X1-2X2与Y2=3X2-3X3的相关系数p；
(Ⅱ) 判断
是否为一个统计量；
(Ⅲ) 设μ为已知，确定常数k，使得
【正确答案】由于
E(Y1)=E(2X1-2X2)=2E(X1)-2E(X2)=2μ-2μ=0，
E(Y2)=E(3X2-3X3)=3E(X2)-3E(X3)=3μ-3μ=0，
D(Y1)=D(2X1-2X2)=4D(X1)+4D(X2)=4σ2+4σ2=8σ2，
D(Y2)=D(3X2-3X3)=9D(X2)+9D(X3)=9σ2+90σ2=180σ2，
E(Y1Y2)=E[(2X1-2X2)(3X2-3X3)]=E(6X1X2-6X1X3-6X22+6X2X3)
=6E(X1)E(X2)-6E(X1)E(X3)-6(D(X2)+[E(X2)]2)+6E(X2)E(X3)
=6μ2-6μ2-6σ2-6μ2+6μ2=-6σ2，
Cov(Y1，Y2)=E(Y1Y2)-E(Y1)E(Y2)=-6σ2-0=-6σ2，
因此
[*]
(Ⅱ)因为
[*]
不含未知参数，因此Y是一个统计量．
(Ⅲ)由于X～N(μ，σ2)，因此
X-μ～N(0，σ2)，Xi-μ～N(0，σ2)，
为使E[*]=σ，即
[*]
应有
[*]
E(Y1)=E(2X1-2X2)=2E(X1)-2E(X2)=2μ-2μ=0，
E(Y2)=E(3X2-3X3)=3E(X2)-3E(X3)=3μ-3μ=0，
D(Y1)=D(2X1-2X2)=4D(X1)+4D(X2)=4σ2+4σ2=8σ2，
D(Y2)=D(3X2-3X3)=9D(X2)+9D(X3)=9σ2+90σ2=180σ2，
E(Y1Y2)=E[(2X1-2X2)(3X2-3X3)]=E(6X1X2-6X1X3-6X22+6X2X3)
=6E(X1)E(X2)-6E(X1)E(X3)-6(D(X2)+[E(X2)]2)+6E(X2)E(X3)
=6μ2-6μ2-6σ2-6μ2+6μ2=-6σ2，
Cov(Y1，Y2)=E(Y1Y2)-E(Y1)E(Y2)=-6σ2-0=-6σ2，
因此
[*]
(Ⅱ)因为
[*]
不含未知参数，因此Y是一个统计量．
(Ⅲ)由于X～N(μ，σ2)，因此
X-μ～N(0，σ2)，Xi-μ～N(0，σ2)，
为使E[*]=σ，即
[*]
应有
[*]
【答案解析】[解析] 根据X1，X2，…，X10相互独立且服从同一正态分布N(μ，σ2)可算得Y1，Y2的数学期望、方差以及E(Y1Y2)，从而得到Cov(Y1，Y2)和p化简Y的表达式，不含未知参数，可知Y是一个统计量．由E([*])=σ解出k．
问答题
【正确答案】[*]
【答案解析】