解答题
20.
【正确答案】(Ⅰ) 这里区域D是单连通的，P，Q在D上有连续的偏导数，于是
∫LPdx+Qdy在D内与路径无关
注意
，即在区域D上
－2r2－λx2=－r2+Ay2
(λ+1)r2=0
λ=－1．
因此，仅当λ=－1时∫LPdx+Qdy在D内与路径无关．
(Ⅱ) 只要P，Q在D上连续，则
Pdx+Qdy在D上存在原函数
∫Lpdx+Qdy在D内与路径无关．
因此，由题(Ⅰ)知仅λ=－1时Pdx+Qdy在D存在原函数．下求原函数u(du=Pdx+Qdy)：
不定积分法．
因此求得Pdx+Qdy的全体原函数为u=
+C．
∫LPdx+Qdy在D内与路径无关
注意
，即在区域D上－2r2－λx2=－r2+Ay2(λ+1)r2=0λ=－1．因此，仅当λ=－1时∫LPdx+Qdy在D内与路径无关．
(Ⅱ) 只要P，Q在D上连续，则
Pdx+Qdy在D上存在原函数
∫Lpdx+Qdy在D内与路径无关．因此，由题(Ⅰ)知仅λ=－1时Pdx+Qdy在D存在原函数．下求原函数u(du=Pdx+Qdy)：
不定积分法．
因此求得Pdx+Qdy的全体原函数为u=
+C．【答案解析】