解答题
25.[2009年] 设A，P为三阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且PTAP=
若P=[α1，α2，α3]，Q=[α1+α2，α2，α3]，则QTAQ为( )．
若P=[α1，α2，α3]，Q=[α1+α2，α2，α3]，则QTAQ为( )．
【正确答案】 注意到Q的列向量为P的列向量的线性组合，利用命题2．1．2．3先将Q写成P与一数字矩阵的乘积．然后计算QTAQ．也可用初等矩阵的运算性质(见命题2．2．5．2)求解．
首先将Q及QT改写成矩阵乘积形式，然后利用初等矩阵的运算性质计算：
Q=[α1+α2，α2，α3]=[α1，α2，α3]
=PE12(1)，QT=[PE12(1)]T=E12T(1)PT，
则QTAQ=E12T(1)PTAPE12(1)=E12T(1)
E12(1)=E21(1)[
E12(1)]
=E21(1)
首先将Q及QT改写成矩阵乘积形式，然后利用初等矩阵的运算性质计算：
Q=[α1+α2，α2，α3]=[α1，α2，α3]
=PE12(1)，QT=[PE12(1)]T=E12T(1)PT，则QTAQ=E12T(1)PTAPE12(1)=E12T(1)
E12(1)=E21(1)[E12(1)]=E21(1)
【答案解析】