单选题
设A为4阶实对称矩阵，且A2+2A-3E=0．若r(A-E)=1，则二次型xTAx在正交变换下的标准形是
【正确答案】
A
【答案解析】[分析] 由A2+2A-3E=0有(A-E)(A+3E)=0，从而
r(A-E)+r(A+3E)≤4．
又 r(A-E)+r(A+3E)=r(E-A)+r(A+3E)
≥r[(E-A)+(A+3E)]=r(4E)=r(E)=4，
因而 r(A-E)+r(A+3E)=4．于是r(A+3E)=3．
那么齐次方程组(E-A)x=0与(A+3E)x=0分别有3个与1个线性无关的解，亦即λ=1与λ=-3分别有3个与1个线性无关的特征向量．因此矩阵A的特征值为1，1，1，-3．故应选(A)．
r(A-E)+r(A+3E)≤4．
又 r(A-E)+r(A+3E)=r(E-A)+r(A+3E)
≥r[(E-A)+(A+3E)]=r(4E)=r(E)=4，
因而 r(A-E)+r(A+3E)=4．于是r(A+3E)=3．
那么齐次方程组(E-A)x=0与(A+3E)x=0分别有3个与1个线性无关的解，亦即λ=1与λ=-3分别有3个与1个线性无关的特征向量．因此矩阵A的特征值为1，1，1，-3．故应选(A)．