解答题
15.设f(x)在[0，1]上二阶可导，且｜f''(x)｜≤1(x∈[0，1])，又f(0)=f(1)，证明：
【正确答案】由泰勒公式得
f(0)=f(x)-f'(x)x+
f''(ξ)x2，ξ1∈(0，x)，
f(1)=f(x)+f'(x)(1-x)+
f''(ξ2)(1-x)2，ξ2∈(x，1)，
两式相减，得f'(x)=
(ξ2)(1-x)2．
两边取绝对值，再由｜f''(x)｜≤1，得
f(0)=f(x)-f'(x)x+
f''(ξ)x2，ξ1∈(0，x)，f(1)=f(x)+f'(x)(1-x)+
f''(ξ2)(1-x)2，ξ2∈(x，1)，两式相减，得f'(x)=
(ξ2)(1-x)2．两边取绝对值，再由｜f''(x)｜≤1，得
【答案解析】