【答案解析】【证】方法一 用拉格朗日中值定理．
当a=0时，等号成立；当a＞0时，由于f(x)在区间[0，a]及[b，a+b]上满足拉格朗日中值定理，所以，存在ξ ₁ ∈(0，a)，ξ ₂ ∈(b，a+b)，ξ ₁ ＜ξ ₁ ，使得
[f(a+b)-f(b)]-[f(a)-f(0)]=af"(ξ ₂ )-af"(ξ ₁ )．
因为f"(x)在(0，c)内单调减少，所以f"(ξ ₂ )≤f"(ξ ₁ )，于是，
[f(a+b)-f(b)]-[f(a)-f(0)]≤0，即f(a+b)≤f(a)+f(b)．
方法二 用函数的单调性．
将[f(a+b)-f(b)]-[f(a)-f(0)]中的b改写为x，构造辅助函数
F(x)=f(a+x)-f(x)-f(a)，x∈[0，b]，显然F(0)=0，又因为f"(x)在(0，c)内单调减少，所以
F"(x)=f"(a+x)-f"(x)≤0．于是有F(b)≤F(0)=0，即f(a+b)-f(b)-f(a)≤0，即f(a+b)≤f(a)+f(b)．