【答案解析】解 此题所给差分方程均为后向差分方程。求解时可先改写为前向差分方程。
(1)由系统的差分方程可知特征方程为
S+1/3=0
解得特征根为S=-1/3
所以
令原差分方程中k=0，并将初始值y(-1)=1代入，可求得

再利用y(0)确定y _zi (k)中的系数，有 ，所以

(2)由系统的差分方程可知特征方程为
S ² +3S+2=0
解得特征根为S ₁ =-2，S ₂ =-1
所以y _zi (k)=[C ₁ (-2) ^k +C ₂ (-1) ^k ]ε(k)
利用原差分方程及所给初始值可迭代出y(0)和y(1)的值为
y(0)=-2，y(1)=6
再利用这两个初始条件，有
，得
所以y _zi (k)=[2(-1) ^k -4(-2) ^k ]ε(k)
(3)由系统差分方程可知特征方程为
S ² +2S+1=0
解得特征根为S ₁ =S ₂ =-1(二重根)
所以y _zi (k)=[C ₁ (-1) ^k +C ₂ k(-1) ^k ]ε(k)
利用原差分方程及所给初始值求出
y(1)=-3
再由初始条件，有 ，得
所以y _zi (k)=[(-1) ^k +2k(-1) ^k ]ε(k)=(2k+1)(-1) ^k ε(k)
(4)由系统差分方程可知特征方程为
S ³ -7S ² +16S-12=0，即(S-3)(S-2) ² =0
解得特征根为S ₁ =3，S ₂ =S ₃ =2
所以y _zi (k)=[C ₁ (3) ^k +C ₂ (2) ^k +C ₃ k(2) ^k ]ε(k)
由初始条件，有