问答题
设n阶矩阵
【正确答案】正确答案：设α=[a
1
，a
2
，…，a
n
]
T
，β=[b
1
，b
2
，…，b
n
]
T
，则矩阵A=αβ
T
． 于是 A
2
=AA=(αβ
T
)(αβ
T
)=(β
T
α)αβ
T
=tr(A).A=aA． 设λ是A的特征值，ξ是对应的特征向量，则 A
2
ξ=aAξ，λ
2
ξ=aλξ，(λ
2
－aλ)ξ=0． 由于ξ≠0，故有λ(λ－a)=0．所以，矩阵A的特征值是0或a．又因为
=tr(A)=a≠0，所以λ
1
=a是A的1重特征值，λ
2
=λ
3
=…=λ
n
=0是A的n－1重特征值． 对于特征值λ
2
=λ
3
=…=λ
n
=0，齐次线性方程组(0.E－A)x=0系数矩阵的秩 r(0.E－A)=r(－A)=r(A) =r(αβ
T
)≤min{r(α)，r(β
T
))=1． 又因为
=tr(A).A=aA． 设λ是A的特征值，ξ是对应的特征向量，则 A
2
ξ=aAξ，λ
2
ξ=aλξ，(λ
2
－aλ)ξ=0． 由于ξ≠0，故有λ(λ－a)=0．所以，矩阵A的特征值是0或a．又因为
=tr(A)=a≠0，所以λ
1
=a是A的1重特征值，λ
2
=λ
3
=…=λ
n
=0是A的n－1重特征值． 对于特征值λ
2
=λ
3
=…=λ
n
=0，齐次线性方程组(0.E－A)x=0系数矩阵的秩 r(0.E－A)=r(－A)=r(A) =r(αβ
T
)≤min{r(α)，r(β
T
))=1． 又因为
【答案解析】