解答题
问答题
设
【正确答案】证：(ATAT)=AT(AT)T=ATA，则ATA是实对称矩阵． 当s＞n时，A的列向量组线性相关(向量个数s＞向量的维数n)，故Ax=0有非零解，即存在x≠0，使得Ax=0，从而使xTATAx=0，故当s＞n时，ATA不是正定矩阵， 当s=n时，范德蒙德行列式|A|≠0，A是可逆矩阵，根据矩阵正定的充分必要条件，ATA是正定矩阵． 当s＜n时，A的列向量组线性无关(当s=n时，A的列向量组线性无关，减少向量个数仍线性无关)，Ax=0只有零解，即任给x≠0，均有Ax≠0，从而有(Ax)TAx=xTATAx＞0，从而ATA是正定矩阵． 故当s≤n时，ATA是正定矩阵．
【答案解析】
问答题
【正确答案】证：因(BTB)T=BT(BT)T=BTB，则BTB是实对称矩阵．又|B|=10!|A|＞0(其中A是第一小题中s=10，n=10的矩阵)，故BTB是正定矩阵．
【答案解析】
问答题
已知B是n阶矩阵，满足B2=E(此时矩阵B称为对合矩阵)．求B的特征值的取值范围．
【正确答案】解：设B有特征值λ，对应的特征向量为ξ，即Bξ=λξ．左乘B，得 B2ξ=Eξ=ξ=λBξ=λ2ξ， (λ2-1)ξ=0，ξ≠0， 故λ=1，或λ=-1，B的特征值的取值范围是{1，-1}．
【答案解析】
问答题
设一电路由三个电子元件串联而成，且三个元件丁作状态相互独立，每个元件的无故障工作时间服从参数为λ的指数分布，设电路正常工作的时间为T，求T的分布函数．
【正确答案】解：设三个元件正常工作的时间为Ti(i=1，2，3)，T1，T2，T3相互独立且其分布函数都是 当t＞0时，令A={T1≤t}，B={T2≤t}，C={T3≤t}，且A，B，C独立， 则FT(t)=P(T≤t)=P(A+B+C)． P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)， P(A)=P(B)=P(C)=1-e-λt。 FT(t)=3(1-e-λt)-3(1-e-λt)2+(1-e-λt)3， 于是
【答案解析】