解答题
设整系数方程组
【正确答案】
【答案解析】[证] 令A=(aij)n×n，i，j=1，2，…，n；b=(b1，b2，…，bn)T，则原方程组即为Ax=b．其中x=(x1，x2，…，xn)T．取b分别为n阶单位矩阵E的各列：ε1=(1，0，…，0)T；ε2=(0，1，…，0)T；…；εn=(0，0，…，1)T，所得解依次记为α1，α2，…，αn，即Aαj=εj，j=1，2，…，n．
A[α1，α2，…，αn]=[ε1，ε2，…，εn]，
也即 A[α1，α2，…，αn]=E，
其中[α1，α2，…，αn]=A-1．按题设，A-1与A一样是整数矩阵，从而|A-1|与|A|都是整数，又由AA-1=E，有
|AA-1|=|A||A-1|=1，
于是只能|A|=±1．
A[α1，α2，…，αn]=[ε1，ε2，…，εn]，
也即 A[α1，α2，…，αn]=E，
其中[α1，α2，…，αn]=A-1．按题设，A-1与A一样是整数矩阵，从而|A-1|与|A|都是整数，又由AA-1=E，有
|AA-1|=|A||A-1|=1，
于是只能|A|=±1．