【正确答案】证一 利用三对称行列式的结论证之．由命题2．1．1．2知

故|A|=|A|^T=(n+1)aⁿ．
证二 用数学归纳法证之．
当n=1时，|A|=|2a|=2a=(1+1)a¹=2a，结论成立．
当n=2时，结论也成立．
假设结论对n一2，n一1阶行列式成立，则|A|_n-2=(n一1)a^n-2，|A|_n-1=na^n-1．将|A|按第1行展开得到
|A|_n=2a|A|_n-1—a²|A|_n-2=2—2a·na^n-1一a²·(n一1)a^n-2=(n+1)aⁿ，
即结论对n阶行列式仍成立．由数学归纳法原理知，对任何正整数n，都有|A|=(n+1)aⁿ．
证三 为方便计，令D_n=|A|．将其按第1列展开得到D_n=2aD_n-1一a²D_n-2，
即 D_n一aD_n-1=aD_n-1一a²D_n-2=a(D_n-1—aD_n-2)=a·a(D_n-2一aD_n-3)
=a²(D_n-2一aD_n-3)=…=a^n-2(D₂一aD₁)=aⁿ，
故 D_n=aⁿ+aD_n-1=aⁿ+a(a^n-1+aD_n-2)=2aⁿ+a²D_n-2=…
=(n一2)aⁿ+a^n-2D₂=(n—2)aⁿ+a^n-2(a²+aD₁)
=(n一1)aⁿ+a^n-1D₁=(n一1)aⁿ+a^n-1·2a=(n+1)aⁿ．
证四 利用行列式性质化成三角行列式求之．

(注：命题2．1．1．2 设n阶三对称行列式则