问答题
设f(x)连续，x∈[a,b]，且可导，试证在(a，b)内存在一点ζ，使
【正确答案】令F(x)=(b-x)[f(x)-f(a)]
由题设知F(x)连续，x∈[a，b]，且可导，
故存在一点ξ∈(a，b)，使F'(ξ)=0．
由 F'(x)=(b-x)f'(x)-[f(x)-f(a)]，
得 F'(ξ)=(b-ξ)f'(ξ)-[f(ξ)-f(a)]=0，
即[*]
由题设知F(x)连续，x∈[a，b]，且可导，
故存在一点ξ∈(a，b)，使F'(ξ)=0．
由 F'(x)=(b-x)f'(x)-[f(x)-f(a)]，
得 F'(ξ)=(b-ξ)f'(ξ)-[f(ξ)-f(a)]=0，
即[*]
【答案解析】[分析]欲证[*]
或f(ξ)-f(a)=f'(ξ)(b-ξ)，
即f'(ξ)(b-ξ)-[f(ξ)-f(a)]=0
[*]
取辅助函数
F(x)=(b-x)[f(x)-f(a)]。
容易验证F(x)满足罗尔定理的条件，即可证得。
或f(ξ)-f(a)=f'(ξ)(b-ξ)，
即f'(ξ)(b-ξ)-[f(ξ)-f(a)]=0
[*]
取辅助函数
F(x)=(b-x)[f(x)-f(a)]。
容易验证F(x)满足罗尔定理的条件，即可证得。