单选题
设n维向量α
1
，α
2
，α
3
满足α
1
-2α
2
+3α
3
=0，对任意的n维向量β，向量组α
1
+aβ，α
2
+bβ，α
3
线性相关，则参数a，b应满足条件______．
【正确答案】
D
【答案解析】[解析] 因α
1
，α
2
，α
3
满足α
1
-2α
2
+3α
3
=0(*)，要求向量组α
1
+aβ，α
2
+bβ，α
3
线性相关，其中β是任意向量．利用(*)式，取常数k
1
=1，k
2
=-2，k
3
=3，对向量组α
1
+aβ，α
2
+bβ，α
3
作线性组合，得
(α 1 +aβ)-2(α 2 +bβ)+3α 3 =α 1 -2α 2 +3α 3 +(a-2b)β=(a-2b)β
故当a=2b时，对任意的n维向量β均有
α 1 +aβ-2(α 2 +bβ)+3α 3 =0．
即a=2b时，α 1 +aβ，α 2 +bβ，α 3 对任意β线性相关．故应选D．
或α 1 +aβ，α 2 +bβ，α 3 线性相关
r[α
1
+aβ，α
2
+bβ，α
3
]≤2．对矩阵[α
1
+aβ，α
2
+bβ，α
3
]作初等列变换(不改变秩)有
[α 1 +aβ，α 2 +bβ，α 3 ]→[α 1 +aβ，α 2 +bβ，α 1 +aβ-2(α 2 +bβ)+α 3 ]→[α 1 +aβ，α 2 +bβ，(a-2b)β]
(α 1 +aβ)-2(α 2 +bβ)+3α 3 =α 1 -2α 2 +3α 3 +(a-2b)β=(a-2b)β
故当a=2b时，对任意的n维向量β均有
α 1 +aβ-2(α 2 +bβ)+3α 3 =0．
即a=2b时，α 1 +aβ，α 2 +bβ，α 3 对任意β线性相关．故应选D．
或α 1 +aβ，α 2 +bβ，α 3 线性相关
r[α
1
+aβ，α
2
+bβ，α
3
]≤2．对矩阵[α
1
+aβ，α
2
+bβ，α
3
]作初等列变换(不改变秩)有
[α 1 +aβ，α 2 +bβ，α 3 ]→[α 1 +aβ，α 2 +bβ，α 1 +aβ-2(α 2 +bβ)+α 3 ]→[α 1 +aβ，α 2 +bβ，(a-2b)β]