解答题
6.设f(x)连续，F(x)=∫0sinxf(tx2)dt。
(Ⅰ)求F'(x)；
(Ⅱ)试讨论函数F'(x)的连续性。
(Ⅰ)求F'(x)；
(Ⅱ)试讨论函数F'(x)的连续性。
【正确答案】(Ⅰ)设u=tx2，则dt=
du。当x≠0时，有
当x=0时，由题设F(0)=0，根据导数定义，并结合洛必达法则及等价无穷小代换
(Ⅱ)当x≠0时，可知F'(x)连续。由(Ⅰ)中求解过程可知
又
(x2sinx)(2sinx+xcosx)=f(0)(2+1)=3f(0)，于是
du。当x≠0时，有当x=0时，由题设F(0)=0，根据导数定义，并结合洛必达法则及等价无穷小代换
(Ⅱ)当x≠0时，可知F'(x)连续。由(Ⅰ)中求解过程可知
又
(x2sinx)(2sinx+xcosx)=f(0)(2+1)=3f(0)，于是【答案解析】