问答题
设f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)=0．
证明：至少
η∈[0，1]，使
证明：至少
η∈[0，1]，使
【正确答案】[证明] 因为f(x)在[0，1]上有连续导数，所以，函数f'(x)在[0，1]上取到最值．
设最大与最小值分别为M与m，即有m≤f'(x)≤M，x∈[0，1]．
又由中值定理有f(x)=f(x)-f(0)=xf'(ξ)，得2[*]f(x)dx=2[*]xf'(ξ)dx，[*]，即
[*]，由介值定理，至少[*]η∈[0，1]，使[*]
设最大与最小值分别为M与m，即有m≤f'(x)≤M，x∈[0，1]．
又由中值定理有f(x)=f(x)-f(0)=xf'(ξ)，得2[*]f(x)dx=2[*]xf'(ξ)dx，[*]，即
[*]，由介值定理，至少[*]η∈[0，1]，使[*]
【答案解析】[分析] 因为f(x)在[0，1]上有连续导数，所以只需证明常数2[*]f(x)dx在函数f'(x)的最大值与最小值之间，由介值定理即可证明．
[评注] 本题综合了最值定理、介值定理、中值定理及定积分的性质．
[评注] 本题综合了最值定理、介值定理、中值定理及定积分的性质．