【答案解析】所给问题为f(x)的定积分与f"(ξ)之间的关系，可以考虑成其原函数 与F"(ξ)之间的关系，从而利用二阶泰勒公式来证明．
如果认定为考查f(x)与f"(ξ)之间的关系，也可以利用拉格朗日中值定理(一阶泰勒公式)来证明．
也可以利用积分中值定理 来证明．
思路一： 利用f(x)=f(0)+f"(ξ ₁ )(x-0)=f(0)+f"(ξ ₁ )x可得

因f"(x)在[0，a]上连续，由闭区间上连续函数的最大值、最小值定理可知，存在m和M，使m≤f"(x)≤M，于是在[0，a]上有mx≤xf"( ₁ )≤Mx，故

即

由连续函数的介值定理知，至少存在一点ξ∈[0，a]，使得

即

于是

思路二：

因为f"(x)连续，x-a≤0(x∈[0，a)，故由积分中值定理知，至少存在一点ξ∈[0，a]，使得

于是

思路三： 令 则F(x)可用麦克劳林公式表示为

即

今x=a，得