问答题
今有方程系列P：x
n
-2x+1=0，n≥3．
问答题
证明：P中每一个方程，在(0，1)内都有且仅有一个解；
【正确答案】
【答案解析】记f
n
(x)=x
n
-2x+1，则方程x
n
-2x+1=0的根，即是函数f
n
(x)的零点．
由n＞2，当x∈(0，1]时，因为f" n (x)=n(n-1)x n-2 ＞0，因此f n (x)在(0，1]内是凹函数，所以f n (x)在(0，1]内至多有两个零点．已知有f n (1)=0，因此f n (x)在(0，1)内至多有一个零点．
又因为
，当n≥3时，
．
所以f n (x)在
内至少有一个零点．
由此证得，f n (x)在(0，1)内有且仅有一个零点，记为x n ，且
由n＞2，当x∈(0，1]时，因为f" n (x)=n(n-1)x n-2 ＞0，因此f n (x)在(0，1]内是凹函数，所以f n (x)在(0，1]内至多有两个零点．已知有f n (1)=0，因此f n (x)在(0，1)内至多有一个零点．
又因为
，当n≥3时，
．
所以f n (x)在
内至少有一个零点．
由此证得，f n (x)在(0，1)内有且仅有一个零点，记为x n ，且
问答题
设P中的第n个方程的解为x，求
【正确答案】
【答案解析】思路一：因为
由于
，
所以存在N＞0，当n＞N时，
．
由此可知，f n (x)的零点x n ∈
，
即
思路二：先证x n ，n=3，4，…是单调减数列．
当n≥3时，
，而且
＜x
n
，x
n-1
＜1．
由于
，ξ
n
位于x
n
，x
n-1
之间，所以
＜ξ
n
＜1．
因此
因此，序列{x n }(n≥3)是单调减，有下界
．因此
存在．
又由于
，而x
n
∈
，所以有
，从而
，则
由于
，
所以存在N＞0，当n＞N时，
．
由此可知，f n (x)的零点x n ∈
，
即
思路二：先证x n ，n=3，4，…是单调减数列．
当n≥3时，
，而且
＜x
n
，x
n-1
＜1．
由于
，ξ
n
位于x
n
，x
n-1
之间，所以
＜ξ
n
＜1．
因此
因此，序列{x n }(n≥3)是单调减，有下界
．因此
存在．
又由于
，而x
n
∈
，所以有
，从而
，则