单选题
设函数f(x)在[2，+∞)上可导且f(2)=1．若f(x)的反函数g(x)满足
，则f(4)=
A．
． B．
．
C．
． D．
，则f(4)=
A．． B．．
C．． D．
【正确答案】
D
【答案解析】[解析] 当x≥2时将题设的等式两边对x求导数，得
g[f(x)]f(x)=x2f'(x)+2xf(x)+1，(*)
由于f[f(x)]≡x，从(*)式又可得
xf'(x)=x2f'(x)+2xf(x)+1
[*](x2-x)f'(x)+2xf(x)=-1
[*](x-1)f'(x)+2f(x)=-[*]
[*](x-1)2f'(x)+2(x-1)f(x)=[*]
[*][(x-1)2f(x)]'=[*]．(**)
将(**)式两边在区间[2，4]上求定积分，并利用y(2)=1就有
[*]
[*]故应选(D)．
g[f(x)]f(x)=x2f'(x)+2xf(x)+1，(*)
由于f[f(x)]≡x，从(*)式又可得
xf'(x)=x2f'(x)+2xf(x)+1
[*](x2-x)f'(x)+2xf(x)=-1
[*](x-1)f'(x)+2f(x)=-[*]
[*](x-1)2f'(x)+2(x-1)f(x)=[*]
[*][(x-1)2f(x)]'=[*]．(**)
将(**)式两边在区间[2，4]上求定积分，并利用y(2)=1就有
[*]
[*]故应选(D)．