问答题
设函数y=f(x)由微分方程
问答题
求函数y=f(x)的表达式
【正确答案】方程可化为[*]，则
[*]．
将初始条件y|x=1=0代入得C=-1，故[*]．
[*]．
将初始条件y|x=1=0代入得C=-1，故[*]．
【答案解析】
问答题
讨论函数y=f(x)在(0，+∞)内的单调性
【正确答案】因[*]，故[*]在(0，+∞)内单调增加．
【答案解析】
问答题
求连续函数f(x)，使其满足
【正确答案】对关系式两边求导，得
f'(x)+2f(x)=2x.
这是标准形式的一阶线性微分方程，其中p(x)=2，q(x)=2x．
其通解为
y=e-∫p(x)dx[∫q(x)e-∫p(x)dxdx+C]=e-∫2dx[∫2x·e2dxdx+C]=e-2x·[∫2x·e2xdx+C]
=e-2x·[xe2x-∫e2xdx+C]=e-2x[*]，
由关系式[*]，令x=0，得f(0)=0代入通解，得[*]，
所以所求函数为
[*]．
f'(x)+2f(x)=2x.
这是标准形式的一阶线性微分方程，其中p(x)=2，q(x)=2x．
其通解为
y=e-∫p(x)dx[∫q(x)e-∫p(x)dxdx+C]=e-∫2dx[∫2x·e2dxdx+C]=e-2x·[∫2x·e2xdx+C]
=e-2x·[xe2x-∫e2xdx+C]=e-2x[*]，
由关系式[*]，令x=0，得f(0)=0代入通解，得[*]，
所以所求函数为
[*]．
【答案解析】
问答题
设y=ex是微分方程
xy'+g(x)y=x的一个解，求此微分方程满足初始条件y|x=ln2=0的特解．
xy'+g(x)y=x的一个解，求此微分方程满足初始条件y|x=ln2=0的特解．
【正确答案】将解y=ex代入给定的微分方程，有
xex+g(x)ex=x，
解得g(x)=x(e-x-1)．代入原方程，得
y'+(e-x-1)y=1．
这是一个一阶线性微分方程的标准形式，其中p(x)=e-x-1，q(x)=1，则其通解
[*]．
将初始条件y|x=ln2=0代入通解，得[*]，所以所求的特解为
[*]
xex+g(x)ex=x，
解得g(x)=x(e-x-1)．代入原方程，得
y'+(e-x-1)y=1．
这是一个一阶线性微分方程的标准形式，其中p(x)=e-x-1，q(x)=1，则其通解
[*]．
将初始条件y|x=ln2=0代入通解，得[*]，所以所求的特解为
[*]
【答案解析】
问答题
求解下列微分方程．
求微分方程y-y'=1+xy'的通解．
【正确答案】y-1=C(x+1)
【答案解析】
问答题
求解下列微分方程．
求微分方程
求微分方程
【正确答案】[*]
【答案解析】
问答题
求解下列微分方程．
求微分方程
【正确答案】[*]
【答案解析】
问答题
求解下列微分方程．
求微分方程cosx·y'-sinx·y=cos2x满足初始条件y|x=π=1的特解．
求微分方程cosx·y'-sinx·y=cos2x满足初始条件y|x=π=1的特解．
【正确答案】[*]
【答案解析】
问答题
设f(x)为连续函数，它由方程
【正确答案】本题给定的关系式中含有变上限定积分，通过等式两边同时微分的方法，根据变上限定积分求导定理将给定的关系式转化为微分方程．
[*]，
xf(x)=f'(x)+2x，
整理为一阶线性微分方程的标准形式y'-xy=-2x，
其中p(x)=-x，q(x)=-2x，
y=e-∫p(x)dx[∫q(x)e∫p(x)dxdx+C]=e∫xdx[∫-2xe-∫xdxdx+C]
[*]
把x=0代入[*]，得f(0)=0．
把初始条件f(0)=0代入方程的通解[*]，得C=-2，
所求的函数为[*]．
[*]，
xf(x)=f'(x)+2x，
整理为一阶线性微分方程的标准形式y'-xy=-2x，
其中p(x)=-x，q(x)=-2x，
y=e-∫p(x)dx[∫q(x)e∫p(x)dxdx+C]=e∫xdx[∫-2xe-∫xdxdx+C]
[*]
把x=0代入[*]，得f(0)=0．
把初始条件f(0)=0代入方程的通解[*]，得C=-2，
所求的函数为[*]．
【答案解析】
问答题
求解二阶常系数线性非齐次微分方程．
求微分方程y"+y'-2y=e-x的通解．
求微分方程y"+y'-2y=e-x的通解．
【正确答案】[*]
【答案解析】
问答题
求解二阶常系数线性非齐次微分方程．
求微分方程y"+6y'+5y=e-x的通解．
求微分方程y"+6y'+5y=e-x的通解．
【正确答案】[*]
【答案解析】
问答题
求解二阶常系数线性非齐次微分方程．
求微分方程y"-2y'+y=ex的通解．
求微分方程y"-2y'+y=ex的通解．
【正确答案】[*]
【答案解析】
问答题
求解二阶常系数线性非齐次微分方程．
求微分方程y"-2y'-3y=x+1的通解．
【正确答案】[*]
【答案解析】
问答题
设f(x)=
【正确答案】本题给定的关系式中含有变上限定积分，通过等式两边同时微分的方法，根据变上限定积分求导定理将给定的关系式转化为微分方程．
[*]
对于上式左右两边再对x求导，有f"(x)=6x+f(x)，即f"(x)-f(x)=6x，此为二阶常系数非齐次线性微分方程．为了求解需先确定初始条件：
取x=0代入f(x)=x3+1+[*]，得
f(0)=03+1+[*]，即得f(0)=1．
取x=0代入关系式f'(x)=3x2+[*]，得
[*]，即得f'(0)=0．
原题转化为求解二阶常系数非齐次线性微分方程f"(x)-f(x)=6x在初始条件f(0)=1，且f'(0)=0下的特解．
其对应的齐次方程为f"(x)-f(x)=0．
特征方程为r2-1=0，特征根为r=±1，齐次方程的通解为Y=C1e-x+C2ex．
自由项f(x)=6x，其中Pm(x)=6x，m=1，α=0不是特征根，设非齐次线性方程的特解y*=Ax+B，y*'=A，y*"=0代入微分方程f"(x)-f(x)=6x，得A=-6，B=0，得非齐次线性方程的特解为y*=-6x．
所以微分方程f"(x)-f(x)=6x的通解为f(x)=C1e-x+C2ex-6x，
将初始条件f(0)=1，且f'(0)=0代入得[*]．
所以[*]．
[*]
对于上式左右两边再对x求导，有f"(x)=6x+f(x)，即f"(x)-f(x)=6x，此为二阶常系数非齐次线性微分方程．为了求解需先确定初始条件：
取x=0代入f(x)=x3+1+[*]，得
f(0)=03+1+[*]，即得f(0)=1．
取x=0代入关系式f'(x)=3x2+[*]，得
[*]，即得f'(0)=0．
原题转化为求解二阶常系数非齐次线性微分方程f"(x)-f(x)=6x在初始条件f(0)=1，且f'(0)=0下的特解．
其对应的齐次方程为f"(x)-f(x)=0．
特征方程为r2-1=0，特征根为r=±1，齐次方程的通解为Y=C1e-x+C2ex．
自由项f(x)=6x，其中Pm(x)=6x，m=1，α=0不是特征根，设非齐次线性方程的特解y*=Ax+B，y*'=A，y*"=0代入微分方程f"(x)-f(x)=6x，得A=-6，B=0，得非齐次线性方程的特解为y*=-6x．
所以微分方程f"(x)-f(x)=6x的通解为f(x)=C1e-x+C2ex-6x，
将初始条件f(0)=1，且f'(0)=0代入得[*]．
所以[*]．
【答案解析】