解答题
[2005年] 设函数φ(y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上曲线积分
问答题
14.证明：对右半平面x＞0内的任意分段光滑简单闭曲线C有
【正确答案】在右半平面x＞0上任取一分段光滑的简单闭曲线C，在C上任取两点M，N，作围绕原点的两根简单闭曲线
与
(见图)，皆取正向．
记
．由题设有
(常数)．
于是由曲线积分的性质得到
与(见图)，皆取正向．记
．由题设有 (常数)．于是由曲线积分的性质得到
【答案解析】
问答题
15.求函数φ(y)的表达式．
【正确答案】由于P，Q在单连通区域右半平面x＞0上具有一阶连续偏导数，对于x＞0内的任意分段光滑的简单闭曲线C，由上题知∮CPdx+Qdy=0．而此式成立的充要条件是
(对任意x＞0)，而
在x＞0的右半平面上，有
，即
-4x2y+2y5=2x2φ'(y)+y4φ'(y)-4y3φ(y)．
两边比较x2与x0项(即只含y的项)前的系数得到
即
(对任意x＞0)，而在x＞0的右半平面上，有
，即-4x2y+2y5=2x2φ'(y)+y4φ'(y)-4y3φ(y)．
两边比较x2与x0项(即只含y的项)前的系数得到
即【答案解析】