解答题
[2012年] 设随机变量X与Y相互独立，且服从参数为1的指数分布．记U=max(X，Y)，V=min(X，Y)．
问答题
19.求V的概率密度fV(v)；
【正确答案】由题设有
因X与y同分布，由命题3．2．5．2得到
FU(u)=max(X，Y)=FX(u)FY(u)=FX2(u)，
FV(v)=1－[1－FX(v)][1－FY(v)]=1－[1－FX(v)]2，
注：命题3．2．5．2 (1)设X1，X2，…，Xn是n个相互独立的随机变量，其分布函数分别为FXi(xi)(i=1，2，…，n)，则M=max(X1，X2，…，Xn)及N=min(X1，X2，…，Xn)的分布函数分别为 Fmax(z)=FX2(z)FX2(z)…FXn(z)，
Fmin(z)=1－[1－FX1(z)][1－FX2(z)]…[1－FXn(z)]．
(2)当X1，X2，…，Xn相互独立且有相同分布函数F(z)时，有
Fmax(z)=[F(z)]n， Fmin(z)=1－[1－F(z)]n．
因X与y同分布，由命题3．2．5．2得到
FU(u)=max(X，Y)=FX(u)FY(u)=FX2(u)，
FV(v)=1－[1－FX(v)][1－FY(v)]=1－[1－FX(v)]2，
注：命题3．2．5．2 (1)设X1，X2，…，Xn是n个相互独立的随机变量，其分布函数分别为FXi(xi)(i=1，2，…，n)，则M=max(X1，X2，…，Xn)及N=min(X1，X2，…，Xn)的分布函数分别为 Fmax(z)=FX2(z)FX2(z)…FXn(z)，
Fmin(z)=1－[1－FX1(z)][1－FX2(z)]…[1－FXn(z)]．
(2)当X1，X2，…，Xn相互独立且有相同分布函数F(z)时，有
Fmax(z)=[F(z)]n， Fmin(z)=1－[1－F(z)]n．
【答案解析】
问答题
20.求E(U+V)．
【正确答案】解一
故 E(U+V)=E(U)+E(V)=3／2+1／2=2．
解二 因X与Y均服从参数为λ=1的指数分布，故
故 E(U+V)=E(U)+E(V)=3／2+1／2=2．
解二 因X与Y均服从参数为λ=1的指数分布，故
【答案解析】