解答题
14.已知A=
【正确答案】A的特征多项式为
=(λ-2n+1)(λ-n+1)n-1，
则A的特征值为λ1=2n-1，λ2=n-1，其中λ2=n-1为n-1重根。
当λ1=2n-1时，解齐次方程组(λ1E-A)x=0，对系数矩阵作初等变换，有
得到基础解系α1=(1，1，…，1)T。
当λ2=n-1时，齐次方程组(λ2E-A)x=0等价于x1+x2+…+xn=0，得到基础解系
α2=(-1，1，0，…，0)T，α3=(-1，0，1，…，0)T，…，αn=(-1，0，0，…，1)T，则A的特征向量是k1α1和k2α2+k3α3+…+knαn，其中k1≠0，k2，k3，…，kn不同时为零。
=(λ-2n+1)(λ-n+1)n-1，
则A的特征值为λ1=2n-1，λ2=n-1，其中λ2=n-1为n-1重根。
当λ1=2n-1时，解齐次方程组(λ1E-A)x=0，对系数矩阵作初等变换，有
得到基础解系α1=(1，1，…，1)T。
当λ2=n-1时，齐次方程组(λ2E-A)x=0等价于x1+x2+…+xn=0，得到基础解系
α2=(-1，1，0，…，0)T，α3=(-1，0，1，…，0)T，…，αn=(-1，0，0，…，1)T，则A的特征向量是k1α1和k2α2+k3α3+…+knαn，其中k1≠0，k2，k3，…，kn不同时为零。
【答案解析】