问答题
设
【正确答案】(i)①xy≠0时，
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(ii)如果f(x，y)在(0，0)可微，则△z|(0,0)=f(x,y)-f(0,0)=[*]可以表示为
△z=f'x(0，0)x+f'y(0，0)y+ωρ
其中ω→0(当[*]时)，故
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当(x，y)沿y=x(x＞0)趋于(0，0)时，[*]不趋于0(ρ→0)，
与ω→0(ρ→0)矛盾，从而f(x，y)在点(0，0)不可微．
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(ii)如果f(x，y)在(0，0)可微，则△z|(0,0)=f(x,y)-f(0,0)=[*]可以表示为
△z=f'x(0，0)x+f'y(0，0)y+ωρ
其中ω→0(当[*]时)，故
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当(x，y)沿y=x(x＞0)趋于(0，0)时，[*]不趋于0(ρ→0)，
与ω→0(ρ→0)矛盾，从而f(x，y)在点(0，0)不可微．
【答案解析】[考点] 二元函数的偏导数及在一点的可微性