问答题
设f(x)在[0，1]上连续且递减，证明：当0＜λ＜1时，
【正确答案】
【答案解析】证法1
其中0≤ξ 1 ≤λ≤ξ 2 ≤1．因f(x)递减，则有f(ξ 1 )≥f(ξ 2 )．
又λ＞0，1-λ＞0，所以λ(1-λ)[f(ξ 1 )-f(ξ 2 )]≥0，即原不等式成立．
证法2 令
又f(x)递减，于是，当0＜λ＜ξ时，F"(λ)＞0，当ξ＜λ＜1时，F"(λ)＜0，且F(0)=F(1)=0，所以
，即
其中0≤ξ 1 ≤λ≤ξ 2 ≤1．因f(x)递减，则有f(ξ 1 )≥f(ξ 2 )．
又λ＞0，1-λ＞0，所以λ(1-λ)[f(ξ 1 )-f(ξ 2 )]≥0，即原不等式成立．
证法2 令
又f(x)递减，于是，当0＜λ＜ξ时，F"(λ)＞0，当ξ＜λ＜1时，F"(λ)＜0，且F(0)=F(1)=0，所以
，即