【正确答案】 D

【答案解析】[解析] 方法一 将f(x)按佩亚诺余项泰勒公式展开至o(x³)，有
[*]
代入极限式的分子，其分母用等价无穷小替换：
[*]
于是
[*]
所以f(0)=0，f'(0)=0，f"(0)=0，f"'(0)=3．选(D)．
方法二 用洛必达法则．由于f(x)在x=0处存在3阶导数，所以存在[*]，当[*]时，f"(x)与f"'(x)都存在，并且f"(x)在x=0处连续．
[*]
因上述极限存在，所以[*]．由洛必达法则
[*]
若[*]，则上述右边为∞，矛盾，所以[*]．再用洛必达法则，
[*]．
若[*]，则上述右边为∞，矛盾，故[*]．于是
[*]
由题设I=1，所以f"'(0)=3．选(D)．
[评注] 上面最后计算[*]时，不能再使用洛必达法则，其理由是，仅设f(x)在x=0处存在3阶导数，而未设存在[*]，当x∈[*]时f(x)存在3阶导数．对比方法一与方法二可见，方法一比方法二方便不少．