解答题
设矩阵A=(α1，α2，α3)，其中α1，α2，α3是4维列向量，已知非齐次线性方程组Ax=b的通解为
x=k(1，-2，3)T+(1，2，-1)T，k为任意常数．
x=k(1，-2，3)T+(1，2，-1)T，k为任意常数．
问答题
10.试求α1，α2，α3的一个极大线性无关组，并把向量b用此极大线性无关组线性表示；
【正确答案】由题设条件可知ξ=(1，-2，3)T是对应的齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，所以r(A)=3-1=2；η=(1，2，-1)T为非齐次线性方程组Ax=b的一个特解．于是有
【答案解析】本题是抽象型非齐次线性方程组的典型情形．只要从题设条件求得对应齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系与非齐次线性方程组Ax=b的一个特解即可．其中一个关键问题仍是确定系数矩阵A的秩，由此可知基础解系中包含线性无关解向量个数．
问答题
11.令矩阵B=(α1，α2，α3，b+α3)，证明方程组Bx=α1-α2有无穷多组解，并求其通解．
【正确答案】因
故r(α1，α2，α3，b+α3)=r(α1，α2，α3，b+α3，α1-α2)=2＜4，即非齐次方程组Bx=α1-α2有无穷多组解．
因
故η*=(1，-1，0，0)T为Bx=α1-α2的一个特解．又
由于r(α2，α3)=2，所以
故r(α1，α2，α3，b+α3)=r(α1，α2，α3，b+α3，α1-α2)=2＜4，即非齐次方程组Bx=α1-α2有无穷多组解．
因
故η*=(1，-1，0，0)T为Bx=α1-α2的一个特解．又
由于r(α2，α3)=2，所以
【答案解析】