问答题
设f(x)在[0，1]上连续，证明：存在ξ∈(0，1)使
【正确答案】
【答案解析】[证] 命
，即去证明存在ξ∈(0，1)使F(ξ)-(1-ξ)F"(ξ)=0．将ξ改为x，即去证方程
F(x)-(1-x)F"(x)=0
在(0，1)内存在根．作函数(此种作函数的方法称微分方程法)
φ(x)=(1-x)F(x)，
有φ(0)=F(0)=0，φ(1)=0，由罗尔定理知存在ξ∈(0，1)使φ"(ξ)=0，即
-F(ξ)+(1-ξ)F"(ξ)=0．
证明了ξ∈(0，1)的存在性．再设f(x)＞0，去证这种ξ是唯一的．
设存在ξ∈(0，1)及η∈(0，1)，不妨设ξ＞η，使
两式相减，由f(x)单调减少及f(x)＞0，得
但左边
，即去证明存在ξ∈(0，1)使F(ξ)-(1-ξ)F"(ξ)=0．将ξ改为x，即去证方程
F(x)-(1-x)F"(x)=0
在(0，1)内存在根．作函数(此种作函数的方法称微分方程法)
φ(x)=(1-x)F(x)，
有φ(0)=F(0)=0，φ(1)=0，由罗尔定理知存在ξ∈(0，1)使φ"(ξ)=0，即
-F(ξ)+(1-ξ)F"(ξ)=0．
证明了ξ∈(0，1)的存在性．再设f(x)＞0，去证这种ξ是唯一的．
设存在ξ∈(0，1)及η∈(0，1)，不妨设ξ＞η，使
两式相减，由f(x)单调减少及f(x)＞0，得
但左边