(2003年)有一平底容器，其内侧壁是由曲线χ＝φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为2m．根据设计要求，当以3m
3
／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm
3
／min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)
(1)根据t时刻液面的面积，写出t与φ(y)之间的关系式；
(2)求曲线χ＝φ(y)的方程．
【正确答案】正确答案：(1)设t时刻液面高度为y，则由题设知此时液面面积为 πφ
2
(y)＝4π＋πt 从而t＝φ
2
(y)－4 (2)液面高度为y时，液体的体积为 π∫
0
y
φ
2
(u)du＝3t＝3φ
2
(y)－12 上式两边对y求导得 πφ
2
(y)＝6φ(y)φ′(y) 解此方程得φ(y)＝C
y 由φ(0)＝2知C＝2． 故所求曲线方程为χ＝2
y 由φ(0)＝2知C＝2． 故所求曲线方程为χ＝2
【答案解析】