解答题
设二次型
问答题
18.证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT；
【正确答案】记x=(x1，x2，x3)T，由于
【答案解析】本题考查抽象二次型化标准形的综合题．
问答题
19.若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y21+y22．
【正确答案】记A=2ααT+ββT，因为α，β正交且均为单位向量，所以
Aα=(2ααT+ββT)α=2α，
Aβ=(2ααT+ββT)β=β，
于是λ1=2，λ2=1是矩阵A的特征值，又
r(A)=r(2ααT+ββT)≤r(2ααT)+r(ββT)≤2．
所以λ3=0是A的另一特征值，故f在正交变换下的标准形为2y21+y22．
Aα=(2ααT+ββT)α=2α，
Aβ=(2ααT+ββT)β=β，
于是λ1=2，λ2=1是矩阵A的特征值，又
r(A)=r(2ααT+ββT)≤r(2ααT)+r(ββT)≤2．
所以λ3=0是A的另一特征值，故f在正交变换下的标准形为2y21+y22．
【答案解析】