问答题
设矩阵
问答题
a的值；
【正确答案】
【答案解析】由题设知AX=β有无穷多组解，则
，
|A|=-(a-1) 2 (a+2)=0．
求解得a=1或-2．但当a=1时，
，此时AX=β无解．而当a=-2时，有
，
|A|=-(a-1) 2 (a+2)=0．
求解得a=1或-2．但当a=1时，
，此时AX=β无解．而当a=-2时，有
问答题
正交矩阵Q，使Q
T
AQ为对角矩阵．
【正确答案】
【答案解析】注意|A-λE|为行和与列和都相等的行列式，易求得|A-λE|=-λ(λ-3)(λ+3)．
因而其特征值为λ 1 =3，λ 2 =-3，λ 3 =0．易求得属于λ 1 ，λ 2 ，λ 3 的特征向量分别为
α 1 =(-1，0，1) T ，α 2 =(1，-2，1) T ，α 3 =(1，1，1) T ．
因A的特征值互异，故A与对角矩阵相似；又由于A为实对称矩阵，不同特征值的特征向量正交，为求得正交矩阵Q，只需将α 1 ，α 2 ，α 3 单位化，因此
，‖α
2
‖=
，‖α
3
‖=
，故
所求正交阵为Q=[η 1 ，η 2 ，η 3 ]，且有
因而其特征值为λ 1 =3，λ 2 =-3，λ 3 =0．易求得属于λ 1 ，λ 2 ，λ 3 的特征向量分别为
α 1 =(-1，0，1) T ，α 2 =(1，-2，1) T ，α 3 =(1，1，1) T ．
因A的特征值互异，故A与对角矩阵相似；又由于A为实对称矩阵，不同特征值的特征向量正交，为求得正交矩阵Q，只需将α 1 ，α 2 ，α 3 单位化，因此
，‖α
2
‖=
，‖α
3
‖=
，故
所求正交阵为Q=[η 1 ，η 2 ，η 3 ]，且有