解答题
已知矩形的周长为2p，将它绕其中一边旋转一周而构成一旋转体(圆柱体)，求该圆柱体体积最大时的半径与高．
【正确答案】
【答案解析】[解] 设该旋转体的半径为x，高为y，则x+y=p．该圆柱体体积V=πyx2．
方法一 化成一元函数极值问题．
令V'=0，得
所以当半径
时，体积V为极大值，且是唯一驻点，故当
时V最大．
方法二 用拉格朗日乘数法，令F(x，y，λ)=πyx2+λ(x+y-p)，
由
有2πxy+λ=0，πx2+λ=0，x+y-p=0.
容易解得唯一解
由于存在最大值，故当半径为
，高为
方法一 化成一元函数极值问题．
令V'=0，得
所以当半径
时，体积V为极大值，且是唯一驻点，故当时V最大．方法二 用拉格朗日乘数法，令F(x，y，λ)=πyx2+λ(x+y-p)，
由
有2πxy+λ=0，πx2+λ=0，x+y-p=0.容易解得唯一解
由于存在最大值，故当半径为，高为