问答题
假设消费者消费一个蛋糕，记k
t
为t时刻开始的蛋糕量，为简单起见，假设k
0
=1。c
t
为t期消费的蛋糕量，消费者通过消费获得的效用贴现到0时刻的效用为β
t
Inc
t
，这样生活T期的消费者的最优问题可以表述为
受约束于：
受约束于：
【正确答案】
【答案解析】(1)定义拉格朗日函数为：
求拉格朗日一阶导数，就是最优性条件。其含义是：在每期不可以借贷的条件下，使得各期效用的贴现值之和最大。
(2)将(1)中的拉格朗日函数求一阶条件，得：
由①可知，
。
由②可知，βλ t =λ t-1 ，因此c t =βc t+1 。
因为μ＞0，由⑤式可知，k T+1 =0，因此最终结果是不剩下蛋糕。所以消费者每期消费的蛋糕为：
。
(3)在考虑蛋糕回报的情况下，最优性问题变为：
s.t.k 1 ＜(1+r)k 0 -c 0
………………
k 1 ＜(1+r)k t-1 -c t-1
k T+1 ＜(1+r)k T -c T
其拉格朗日函数为：
一般条件是：
可以得到k T+1 =0，c t =β(1+r)c t+1
因此可以解得：
求拉格朗日一阶导数，就是最优性条件。其含义是：在每期不可以借贷的条件下，使得各期效用的贴现值之和最大。
(2)将(1)中的拉格朗日函数求一阶条件，得：
由①可知，
。
由②可知，βλ t =λ t-1 ，因此c t =βc t+1 。
因为μ＞0，由⑤式可知，k T+1 =0，因此最终结果是不剩下蛋糕。所以消费者每期消费的蛋糕为：
。
(3)在考虑蛋糕回报的情况下，最优性问题变为：
s.t.k 1 ＜(1+r)k 0 -c 0
………………
k 1 ＜(1+r)k t-1 -c t-1
k T+1 ＜(1+r)k T -c T
其拉格朗日函数为：
一般条件是：
可以得到k T+1 =0，c t =β(1+r)c t+1
因此可以解得：