问答题
设A为3阶矩阵，α
1
，α
2
，α
3
是3维线性无关的列向量，其中α
1
是齐次方程组Ax=0的解，又知Aα
2
=α
1
+2α
2
，Aα
3
=α
1
-3α
2
+2α
3
．
问答题
求矩阵A的特征值与特征向量；
【正确答案】
【答案解析】解：据已知条件，有
记P=(α 1 ，α 2 ，α 3 )，
，由于α
1
，α
2
，α
3
线性无关，故P是可逆矩阵．于是有P
-1
AP=B，
从而A和B相似．因为
所以矩阵B的特征值是2，2，0，亦即矩阵A的特征值是2，2，0．
对应于λ 1 =λ 2 =2，解齐次线性方程组(2E-B)x=0得基础解系ξ 1 =(1，2，0) T ．
如果Bα=λα，则(P -1 AP)α=λα，有A(Pα)=λ(Pα)，那么
记P=(α 1 ，α 2 ，α 3 )，
，由于α
1
，α
2
，α
3
线性无关，故P是可逆矩阵．于是有P
-1
AP=B，
从而A和B相似．因为
所以矩阵B的特征值是2，2，0，亦即矩阵A的特征值是2，2，0．
对应于λ 1 =λ 2 =2，解齐次线性方程组(2E-B)x=0得基础解系ξ 1 =(1，2，0) T ．
如果Bα=λα，则(P -1 AP)α=λα，有A(Pα)=λ(Pα)，那么
问答题
判断A是否和对角矩阵相似并说明理由；
【正确答案】
【答案解析】解：因为秩r(2E-B)=2，矩阵B对应于λ
1
=λ
2
=2只有一个线性无关的特征向量，矩阵B不和对角矩阵相似，所以A不和对角矩阵相似．
问答题
求秩r(A+E)．
【正确答案】
【答案解析】解：因为A～B，有A+E～B+E．从而r(A+E)=r(B+E)=3．