结构推理 7.设A为方阵，f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_mx^m为-m次多项式，则称f(A)=a₀E十a₁A+a₂A²+…+a_mA^m为A的m次多项式.证明：若存在可逆方阵P，使A=PBP^-1(即A与B相似)，则f(A)=Pf(B)P^-1(即f(A)与f(B)相似).

【正确答案】对任何正整数志，有A^k=(PBP^-1)^k=(PBP^-1)(PBP^-1)…(PBP^-1)=PB(P^-1p)B…(P^-1P)BP^-1=PBkp^-1，所以f(A)=a₀E+a₁A+a₂A²+…+a_mA^m=a₀PP^-1+a₁PBP^-1+a₂PB²P^-1+…+a_mPB^mp^-1=P(a₀E+a₁B+a₂B²+…+a_mB^m)P^-1=pf(B)P^-1.

【答案解析】