解答题
3.已知平面上三条不同直线的方程分别为
l1：ax+2by+3c=0，l2：bx+2cy+3a=0，l3：cx+2ay+3b=0。
试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0。
l1：ax+2by+3c=0，l2：bx+2cy+3a=0，l3：cx+2ay+3b=0。
试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0。
【正确答案】必要性。
设三条直线l1，l2，l3交于一点，则线性方程组
有唯一解，所以系数矩阵
=0。
又
=6(a+b+c)(a2+b2+c2一ab一ac—bc)=3(a+b+c)[(a一b)2+(b一c)2+(c一a)2]，
而根据题设(a一b)2+(b一c)2+(c一a)2≠0，故a+b+c=0。
充分性：由a+b+c=0，则从必要性的证明可知，
＜3。
由于
=2(ac—b2)=一2[a(a+b)+b2]
=一2[(a＋
b)2＋
b2]≠0，
故r(A)=2。于是，r(A)=
设三条直线l1，l2，l3交于一点，则线性方程组
有唯一解，所以系数矩阵
=0。又
=6(a+b+c)(a2+b2+c2一ab一ac—bc)=3(a+b+c)[(a一b)2+(b一c)2+(c一a)2]，而根据题设(a一b)2+(b一c)2+(c一a)2≠0，故a+b+c=0。
充分性：由a+b+c=0，则从必要性的证明可知，
＜3。由于
=2(ac—b2)=一2[a(a+b)+b2]=一2[(a＋
b)2＋b2]≠0，故r(A)=2。于是，r(A)=
【答案解析】三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2。