问答题
设张三仅消费x和y两种商品，他的效用函数为U=L
0.57
x
0.06
y
0.09
，其中L是张三每周的闲暇小时数。试求他最大化其效用函数时：
(1)他将选择每周工作多少小时?
(2)他将把收入的多大比例用于购买x?
(3)他消费x的需求价格弹性。
(4)如果他的收入下降30％，y的价格下降50％，他将过得更好还是更坏?(上海交通大学2007研)
【正确答案】正确答案：(1)假设工资率为w，商品x和y的价格分别为P
x
和P
y
，每周的总收入为： (24×7一L).w=168w一wL 因此，张三的效用最大化问题为： max L
0.57
x
0.06
y
0.09
s．t．P
x
.x+P
y
.y+w.L=168w 构造拉格朗日辅助函数l=L
0.57
x
0.06
y
0.09
一λ(P
x
.x+P
y
.y+w.L一168w)。拉格朗日定理认为，效用函数最大化必定满足以下四个一阶条件：
利用拉格朗日乘数法可以解得：
因此，该工人每周工作的时间为：168一L=168—133=35(小时)。 (2)该工人每周的总收入为：(168一L)w=35w，所以该消费者用于x商品的支出比例为：
即他将把收入的40％用于购买x商品。 (3)x商品需求函数为：x=
，所以，消费x的需求价格弹性为：
(4)消费者的效用为：
利用拉格朗日乘数法可以解得：
因此，该工人每周工作的时间为：168一L=168—133=35(小时)。 (2)该工人每周的总收入为：(168一L)w=35w，所以该消费者用于x商品的支出比例为：
即他将把收入的40％用于购买x商品。 (3)x商品需求函数为：x=
，所以，消费x的需求价格弹性为：
(4)消费者的效用为：
【答案解析】