填空题
设f(x)在(0，+∞)内有界且可导，并设
存在，则
存在，则
- 1、
【正确答案】
1、0
【答案解析】 已知
f'(x)存在，记为A，以下证A=0．反证法，若A＞0，由保号性知，存在X＞0，当x＞X时，f'(x)＞
，在区间[X，x]上对f(x)用拉格朗日中值公式，有
f(x)=f(X)+f'(ξ)(x-X)，X＜ξ＜x．
由f'(ξ)(x-X)＞
(x-X)知，当x→+∞时，f(x)→+∞．与f(x)在[0，+∞)内有界矛盾．
若A＜0，类似可证亦矛盾．故A=0．
如果事先未设
f'(x)存在，那么不可能直接证明“
f'(x)存在并等于0”．例如f(x)=sinx2，在(0，+∞)内有界，但f'(x)=2xsinx2，
f'(x)并不存在．所以在推断中，事先假定
f'(x)存在，记为A，以下证A=0．反证法，若A＞0，由保号性知，存在X＞0，当x＞X时，f'(x)＞，在区间[X，x]上对f(x)用拉格朗日中值公式，有f(x)=f(X)+f'(ξ)(x-X)，X＜ξ＜x．
由f'(ξ)(x-X)＞
(x-X)知，当x→+∞时，f(x)→+∞．与f(x)在[0，+∞)内有界矛盾．若A＜0，类似可证亦矛盾．故A=0．
如果事先未设
f'(x)存在，那么不可能直接证明“f'(x)存在并等于0”．例如f(x)=sinx2，在(0，+∞)内有界，但f'(x)=2xsinx2，f'(x)并不存在．所以在推断中，事先假定