问答题
设X1，X2，…，Xn为来自正态总体N(μ0，σ2)的简单随机样本，其中已知μ0，σ2＞0未知．
问答题
求参数σ2的最大似然估计
【正确答案】解 由题意知，总体X的概率密度为：
[*]，-∞＜x＜+∞
似然函数为
[*]
令[*]，解得[*]
故得 [*]
【答案解析】
问答题
计算
和
和
【正确答案】由X1，X2，…，Xn独立同分布．且X1～N(μ0，σ2)
得[*] 即[*]
故 [*]
①请注意σ2与[*]的区别，σ2为未知待估参数，而[*]为统计量；②(Ⅰ)求导时是对σ2整体求导，不是对σ求导(若对σ求导，其实不影响最后结果，但略麻烦些)；③注意本题中μ0是已知的．如果μ0未知，则求成[*]，不够准确；④解(Ⅱ)时要求学生熟悉χ2分布的期望和方差(若随机变量)[χ2～χ2(n)，则Eχ2=n，Dχ2=2n)．求[*]时也可用期望的性质做：由Xi～N(μ0，σ2)，得E(Xi-μ0)2=E(Xi-EXi)2=DXi=σ2)，i=1，2，…，n．∴[*]．但这样去求[*]就略有点麻烦了，如果一定要这样求，应了解：若随机变量X～N(0，1)，则E(X4)=[*]=3(要求高的考生应了解这个结论：E(X2k+1)=0，D(X2k)=(2k-1)!!，k为正整数)，而[*]，∴[*]，即E(Xi-μ0)4=3σ4又由E(Xi-μ0)2=σ2，知D(Xi-μ0)2=E(Xi-μ0)4-[E(Xi-μ0)2]2=3σ4-σ4=2σ4．故[*]．
得[*] 即[*]
故 [*]
①请注意σ2与[*]的区别，σ2为未知待估参数，而[*]为统计量；②(Ⅰ)求导时是对σ2整体求导，不是对σ求导(若对σ求导，其实不影响最后结果，但略麻烦些)；③注意本题中μ0是已知的．如果μ0未知，则求成[*]，不够准确；④解(Ⅱ)时要求学生熟悉χ2分布的期望和方差(若随机变量)[χ2～χ2(n)，则Eχ2=n，Dχ2=2n)．求[*]时也可用期望的性质做：由Xi～N(μ0，σ2)，得E(Xi-μ0)2=E(Xi-EXi)2=DXi=σ2)，i=1，2，…，n．∴[*]．但这样去求[*]就略有点麻烦了，如果一定要这样求，应了解：若随机变量X～N(0，1)，则E(X4)=[*]=3(要求高的考生应了解这个结论：E(X2k+1)=0，D(X2k)=(2k-1)!!，k为正整数)，而[*]，∴[*]，即E(Xi-μ0)4=3σ4又由E(Xi-μ0)2=σ2，知D(Xi-μ0)2=E(Xi-μ0)4-[E(Xi-μ0)2]2=3σ4-σ4=2σ4．故[*]．
【答案解析】