已知y
1
*
=xe
x
+e
2x
，y
2
*
=xe
x
+e
－x
，y
3
*
=xe
x
+e
2x
－e
－x
是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．
【正确答案】正确答案：易求得该微分方程相应的齐次方程的两个特解 y
1
*
—y
3
*
=e
－x
， y
2
*
—y
3
*
=2e
－x
一e
2x
． 进一步又可得该齐次方程的两个特解是 y
1
=e
－x
，y
2
=2(y
1
*
—y
3
*
)一(y
2
*
—y
3
*
)=e
2x
， 它们是线性无关的．为简单起见，我们又可得该非齐次方程的另一个特解 y
4
*
=y
1
*
一y
2
=xe
x
． 因此该非齐次方程的通解是 y=C
1
e
－x
+C
2
e
2x
+xe
x
，其中C
1
，C
2
为任意常数． 由通解结构易知，该非齐次方程是：二阶线性常系数方程 y″+py′+qy=f(x)． 它的相应特征根是λ
1
=－1，λ
2
=2，于是特征方程是 (λ+1)(λ一2)=0，即 λ
2
一λ一2=0． 因此方程为 y″一y′一2y=f(x)． 再将特解y
4
*
=xe
x
代入得 (x+2)e
x
一(x+1)e
x
一2xe
x
=f(x)，即 f(x)=(1—2x)e
x
因此方程为 y″一y′一2y=(1—2x)e
x
．
【答案解析】