解答题
设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)二阶可导且f(0)=f(1)=0，f″(x)＜0(x∈(0，1))，证明：
(Ⅰ)f(x)＞0(x∈(0，1)). (Ⅱ)设
(Ⅰ)f(x)＞0(x∈(0，1)). (Ⅱ)设
【正确答案】
【答案解析】(Ⅰ)由假设条件及罗尔定理知，
a∈(0，1)，f′(a)=0. 由f′(x)在(0，1)↘
(Ⅱ)
方法1°要证：f′(x)-M在(0，1)
零点
在(0，1)
零点. 作辅助函数F(x)= f(x)-Mx
F(x)在[0，1]连续，在(0，1)可导，F(0)=f(0)=0. 再找F(x)在(0，1)的一个零点. 由
F(a)=f(a)-Ma=M(1-a)＞0，
F(1)=f(1)-M=-M＜0
，使得F(η)=0.
在
上对F(x)用罗尔定理
，使得F′(ξ)=0，即f(ξ)=M.
方法2°作辅助函数F(x)=f(x)-Mx，由F(x)在[0，1]连续，在(0，1)可导，且
F(0)=0，F(a)=M(1-a)＞0，F(1)=-M＜0
F(x)在[0，1]的最大值不能在x=0或x=1取到
，使得
由费马定理
F′(ξ)=0，即f′(ξ)=M.
方法3°先证M是f′(x)的某一中间值. 由a∈(0，1)，
0，又由拉格朗日中值定理，
，使得
即
亦即f′(a)＜M＜f′(η).
由连续函数中间值定理
，使得f′(ξ)=M.
最后证唯一性. 由f″(x)＜0(x∈(0，1))
f′(x)在
a∈(0，1)，f′(a)=0. 由f′(x)在(0，1)↘(Ⅱ)
方法1°要证：f′(x)-M在(0，1)
零点在(0，1)零点. 作辅助函数F(x)= f(x)-MxF(x)在[0，1]连续，在(0，1)可导，F(0)=f(0)=0. 再找F(x)在(0，1)的一个零点. 由F(a)=f(a)-Ma=M(1-a)＞0，
F(1)=f(1)-M=-M＜0
，使得F(η)=0.在
上对F(x)用罗尔定理，使得F′(ξ)=0，即f(ξ)=M.方法2°作辅助函数F(x)=f(x)-Mx，由F(x)在[0，1]连续，在(0，1)可导，且
F(0)=0，F(a)=M(1-a)＞0，F(1)=-M＜0
F(x)在[0，1]的最大值不能在x=0或x=1取到，使得由费马定理
F′(ξ)=0，即f′(ξ)=M.方法3°先证M是f′(x)的某一中间值. 由a∈(0，1)，
0，又由拉格朗日中值定理，，使得即亦即f′(a)＜M＜f′(η).
由连续函数中间值定理
，使得f′(ξ)=M.最后证唯一性. 由f″(x)＜0(x∈(0，1))
f′(x)在