问答题
试证明：
设f(x)在R1上具有介值性，若对任意的r∈Q，点集{x∈R1：f(x)=r}必为闭集，则f∈C(R1)．
【正确答案】[证明] 反证法，假定x0∈R1是f(x)的不连续点，即存在ε0＞0以及xn→x0(n→∞)，使得
|f(xn)-f(x0)|＞ε0，|xn-x|＜1/n．
不妨设f(x0)＜f(x0)+ε0＜f(xn)(n∈N)，取r∈Q：f(x0)＜r＜f(x0)+ε，则由题设知，存在ξn(位于x0与xn之间)，使得f(ξn)=r．现在令n→∞，根据点集{x：f(x)=r}的闭集性，可知f(x0)=r．这一矛盾说明f∈C(R1)．
【答案解析】