问答题
某消费者消费两种商品：商品1和商品2；商品的价格为p
1
和p
2
，消费数量为X
1
和X
2
，并且该消费者愿意以a单位的商品1恒等换取b单位的商品2。当消费者消费商品1的量少于配给量X
1
时不征税，当超过这个量时增加部分每单位征税t。
(1)请写出该消费者的预算约束函数，并画图表示。
(2)请写出该消费者的效用函数。
(3)求出该消费者对商品1的普通需求函数。(北京大学2011研)
【正确答案】正确答案：(1)设消费者的收入为M，则消费者消费商品1的量少于配给量
时的预算约束函数为 M=P
1
X
1
+P
2
X
2
① 消费者消费商品1的量不少于配给量
时的预算约束函数为 M=P
1
+(P
1
+t)(X
1
-
)+P
2
X
2
② 对应的图形如图3—22所示。 (2)消费者愿意以a单位的商品1恒等换取b单位的商品2，说明两个商品是完全替代的，因此他的效用函数是一条直线，商品1替代商品2的比率为b／a，效用函数为 U(X
1
，X
2
)=bX
1
+aX
2
(3)效用函数和约束函数同为直线，因此最优消费点在角点处获得。 当效用线的斜率绝对值小于预算线斜率绝对值，即b／a＜P
1
／P
2
时，角解是预算线与纵轴交点，即此时商品1的需求函数为X
1
=0。 当效用线的斜率绝对值大于预算线斜率绝对值，即b／a＞P
1
／P
2
时，角解分两种情况，一是当消费者消费商品1的量少于配给量
时，此时角解是预算线与横轴交点，即商品1的需求函数为X
1
=M／P
1
；消费者消费商品1的量不少于配给量
时，角解是两条分段预算线的交点A，此时与横轴交点，商品1的需求函数为X
1
=
。
时的预算约束函数为 M=P
1
X
1
+P
2
X
2
① 消费者消费商品1的量不少于配给量
时的预算约束函数为 M=P
1
+(P
1
+t)(X
1
-
)+P
2
X
2
② 对应的图形如图3—22所示。 (2)消费者愿意以a单位的商品1恒等换取b单位的商品2，说明两个商品是完全替代的，因此他的效用函数是一条直线，商品1替代商品2的比率为b／a，效用函数为 U(X
1
，X
2
)=bX
1
+aX
2
(3)效用函数和约束函数同为直线，因此最优消费点在角点处获得。 当效用线的斜率绝对值小于预算线斜率绝对值，即b／a＜P
1
／P
2
时，角解是预算线与纵轴交点，即此时商品1的需求函数为X
1
=0。 当效用线的斜率绝对值大于预算线斜率绝对值，即b／a＞P
1
／P
2
时，角解分两种情况，一是当消费者消费商品1的量少于配给量
时，此时角解是预算线与横轴交点，即商品1的需求函数为X
1
=M／P
1
；消费者消费商品1的量不少于配给量
时，角解是两条分段预算线的交点A，此时与横轴交点，商品1的需求函数为X
1
=
。
【答案解析】