问答题
求微分方程y"+a
2
y=sinx的通解，其中常数a＞0．
【正确答案】
【答案解析】解 对应的齐次方程的通解为
y=C 1 cosax+C 2 sinax．
①当a≠1时，设原方程的特解为
y * =Asinx+Bcosx．
代入原方程，得
A(a 2 -1)sinx+B(a 2 -1)cosx=sinx．
比较等式两端对应项的系数，得
所以
②当a=1时，设原方程的特解为
y * =x(Asinx+Bcosx)．
代入原方程，得
2Acosx-2Bsinx=sinx．
比较等式两端对应项的系数，得
．
所以
综合上述讨论：
当a≠1时，通解为
当a=1时，通解为
y=C 1 cosax+C 2 sinax．
①当a≠1时，设原方程的特解为
y * =Asinx+Bcosx．
代入原方程，得
A(a 2 -1)sinx+B(a 2 -1)cosx=sinx．
比较等式两端对应项的系数，得
所以
②当a=1时，设原方程的特解为
y * =x(Asinx+Bcosx)．
代入原方程，得
2Acosx-2Bsinx=sinx．
比较等式两端对应项的系数，得
．
所以
综合上述讨论：
当a≠1时，通解为
当a=1时，通解为