解答题
[2006年] 设三阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3，向量α1=[－1，2，－1]T，α2=[0，－1，1]T都是齐次线性方程组AX=0的解．
问答题
23.求A的特征值和特征向量；
【正确答案】由命题2．5．1．3知，三阶矩阵A有一个特征值3，且α3=[1，1，1]T为A的属于特征值3的特征向量．
或由
或由
【答案解析】
问答题
24.求正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得QTAQ=Λ；
【正确答案】解一 将α1，α2正交化．令ξ1=α1=[－1，2，－1]T，则
再分别将ξ1，ξ2，α3单位化，得到
其中Q为正交矩阵，且QTAQ=Λ．
解二 下面不用正交化，凑出正交化的三个特征向量．
由于A只有一个重特征值λ1=λ2=0，所要求的A的3个两两正交的特征向量只需利用α1与α2的线性组合，找出一个与α1且同时与α3正交的特征向量即可，令
ξ2=α1+2α2=[－1，2，－1]T+2[0，－1，1]T=[－1，0，1]T．
显然，ξ2与α1=ξ1正交，同时也与α3正交，再将它们单位化，即
令Q=[η1，η2，η3]，则Q为正交矩阵，且有QTAQ=diag(0，0，3)．
解三 设A的属于特征值λ1=λ2=0的特征向量β=[x1，x2，x3]T，则β与α3正交，即x1+x2+x3=0．求解此齐次方程即得属于λ1=λ2的两个线性无关的特征向量为
β1=[－1，1，0]T， β2=[1，1，－2]T．
显然β1与β2正交，β1，β2与α3也正交，将其单位化便得到所求的正交矩阵，即
再分别将ξ1，ξ2，α3单位化，得到
其中Q为正交矩阵，且QTAQ=Λ．
解二 下面不用正交化，凑出正交化的三个特征向量．
由于A只有一个重特征值λ1=λ2=0，所要求的A的3个两两正交的特征向量只需利用α1与α2的线性组合，找出一个与α1且同时与α3正交的特征向量即可，令
ξ2=α1+2α2=[－1，2，－1]T+2[0，－1，1]T=[－1，0，1]T．
显然，ξ2与α1=ξ1正交，同时也与α3正交，再将它们单位化，即
令Q=[η1，η2，η3]，则Q为正交矩阵，且有QTAQ=diag(0，0，3)．
解三 设A的属于特征值λ1=λ2=0的特征向量β=[x1，x2，x3]T，则β与α3正交，即x1+x2+x3=0．求解此齐次方程即得属于λ1=λ2的两个线性无关的特征向量为
β1=[－1，1，0]T， β2=[1，1，－2]T．
显然β1与β2正交，β1，β2与α3也正交，将其单位化便得到所求的正交矩阵，即
【答案解析】
问答题
25.求A及[A－(3／2)E]6．
【正确答案】解一 由Q-1AQ=Λ，且Q为正交矩阵，故A=QΛQT，即
由A=QΛQT得到
则
解二 由Aα3=3α3，Aα1=0α1，Aα3=0α3得到
易求得A2=3A，故
由A=QΛQT得到
则解二 由Aα3=3α3，Aα1=0α1，Aα3=0α3得到
易求得A2=3A，故
【答案解析】