问答题
已知矩阵
【正确答案】(1)
[*]
则A的特征值λ1=λ2=1，λ3=4都大于0，故A为正定矩阵．
(2)A属于特征值λ1=λ2=1的特征向量为X1=(-1，1，0)T，X2=(-1，0，1)T．属于特征值λ3=4的特征向量为X3=(1，1，1)T．将X1，X2，X3正交化，单位化得
[*]
令[*]则C是正交矩阵，
使
[*]
令B=CΛCT，则BT=CΛCT=B，即B对称且与对角矩阵Λ合同，因此B是正定矩阵．(或用B的特征值都大于0，知B正定)，满足A=B2，其中[*]即为所求．
[*]
则A的特征值λ1=λ2=1，λ3=4都大于0，故A为正定矩阵．
(2)A属于特征值λ1=λ2=1的特征向量为X1=(-1，1，0)T，X2=(-1，0，1)T．属于特征值λ3=4的特征向量为X3=(1，1，1)T．将X1，X2，X3正交化，单位化得
[*]
令[*]则C是正交矩阵，
使
[*]
令B=CΛCT，则BT=CΛCT=B，即B对称且与对角矩阵Λ合同，因此B是正定矩阵．(或用B的特征值都大于0，知B正定)，满足A=B2，其中[*]即为所求．
【答案解析】[考点] 正定矩阵及性质