求微分方程yˊˊ+2yˊ+2y=2e
－x
【正确答案】正确答案：应先用三角公式将自由项写成 e
－x
+e
－x
cosx， 然后再用叠加原理用待定系数法求特解． 对应的齐次方程的通解为 Y=(C
1
cosx+C
2
sinx)e
－x
． 为求原方程的一个特解，将自由项分成两项：e
－x
，e
－x
cosx，分别考虑 yˊˊ+2yˊ+2y=e
－x
， ① 与 yˊˊ+2yˊ+2y=e
－x
cosx． ② 对于①，令 y
1
*
=Ae
－x
， 代入可求得A=1，从而得y
1
*
=e
－x
． 对于②，令 y
2
*
=xe
－x
(Bcosx+Csinx)， 代入可求得B=0，C=
．由叠加原理，得原方程的通解为 y=Y+y
1
*
+y
2
*
=e
－x
(C
1
cosx+C
2
sinx)+e
－x
+
．由叠加原理，得原方程的通解为 y=Y+y
1
*
+y
2
*
=e
－x
(C
1
cosx+C
2
sinx)+e
－x
+
【答案解析】