解答题
求一个正交变换把二次曲面的方程
3x2+5y2+5z2+4xy-4xz-10yz=1化成标准方程．
3x2+5y2+5z2+4xy-4xz-10yz=1化成标准方程．
【正确答案】
【答案解析】记二次曲面为f=1，则f为二次型，二次型的矩阵为
由
，
得A的特征值为λ1=2，λ2=11，λ3=0．
当λ1=2时，解方程(A-2E)x=0，得特征向量
，单位化得
．
当λ2=11时，解方程(A-11E)x=0，得特征向量
，单位化得
．
当λ3=0时，解方程Ax=0，得特征向量
，单位化得
．
于是有正交矩阵P=(p1，p2，p3)，使
，从而有正交变换
由
，得A的特征值为λ1=2，λ2=11，λ3=0．
当λ1=2时，解方程(A-2E)x=0，得特征向量
，单位化得．当λ2=11时，解方程(A-11E)x=0，得特征向量
，单位化得．当λ3=0时，解方程Ax=0，得特征向量
，单位化得．于是有正交矩阵P=(p1，p2，p3)，使
，从而有正交变换