问答题
已知三元二次型x
T
Ax的平方项系数都为0，α=(1，2，—1)
T
满足Aα=2α．
问答题
求x
T
Ax的表达式．
【正确答案】正确答案：设A=
，则由条件Aα=2α,即
，则由条件Aα=2α,即
【答案解析】
问答题
求作正交变换x=Qy，把x
T
Ax化为标准二次型．
【正确答案】正确答案：先求A的特征值． |λE—A|=
=(λ—2)
2
(λ+4)． 于是A的特征值就是2，2，—4． 再求单位正交特征向量组． 属于2的特征向量是(A—2E)x=0的非零解． A—2E=
得(A—2E)x=0的同解方程组：x
1
—x
2
—x
3
=0． 显然β
1
=(1，1，0)
T
是—个解，设第二个解为β
2
=(1，—1，c)
T
(这样的设定保证了两个解是正交的!)，代入方程得c=2，得到属于特征值2的两个正交的特征向量β
1
，β
2
．再把它们单位化： 记η
1
=β
1
／
，η
2
=β
2
／
． 属于—4的特征向量是(A+4E)x=0的非零解． 求出β
3
=(1，—1，—1)
T
是一个解，单位化： 记η
3
=β
3
／
=(λ—2)
2
(λ+4)． 于是A的特征值就是2，2，—4． 再求单位正交特征向量组． 属于2的特征向量是(A—2E)x=0的非零解． A—2E=
得(A—2E)x=0的同解方程组：x
1
—x
2
—x
3
=0． 显然β
1
=(1，1，0)
T
是—个解，设第二个解为β
2
=(1，—1，c)
T
(这样的设定保证了两个解是正交的!)，代入方程得c=2，得到属于特征值2的两个正交的特征向量β
1
，β
2
．再把它们单位化： 记η
1
=β
1
／
，η
2
=β
2
／
． 属于—4的特征向量是(A+4E)x=0的非零解． 求出β
3
=(1，—1，—1)
T
是一个解，单位化： 记η
3
=β
3
／
【答案解析】