解答题
设f(x)在[a，+∞]中二阶可导，并满足f(a)=A＞0，f'(a)＜0，当x＞a时，f"(x)＜0，证明：方程f(x)=0在(a，+∞)内有且仅有一个实根．
【正确答案】
【答案解析】[证] 因为f"(x)＜0，所以f'(x)单调递减，因而当x＞a时，f'(x)＜f'(a)＜0，故f(x)在(a，+∞)内严格单调下降，因此f(x)=0在(a，+∞)内至多有一个实根．
以下证明f(x)=0在(a，+∞)至少有一个实根．
由题设可知f(x)在x=a的右侧可展成泰勒公式：
因为f"(x)＜0，所以f"(ξ)＜0，于是f(x)＜f(a)+f'(a)(x-a)，
当x充分大时，不妨设
则
以下证明f(x)=0在(a，+∞)至少有一个实根．
由题设可知f(x)在x=a的右侧可展成泰勒公式：
因为f"(x)＜0，所以f"(ξ)＜0，于是f(x)＜f(a)+f'(a)(x-a)，
当x充分大时，不妨设
则